Oscilaciones de conductividad de banda en una puerta. | Grupo Co., Ltd del sensor de Hubei Hall

Nature Communications volumen 13, número de artículo: 2856 (2022) Citar este artículo

3677 Accesos

9 citas

17 altmétrica

Detalles de métricas

Los electrones expuestos a un potencial periódico bidimensional (2D) y a un campo magnético uniforme y perpendicular exhiben un espectro de energía fractal autosimilar conocido como mariposa de Hofstadter. Recientemente, se descubrieron oscilaciones cuánticas de alta temperatura relacionadas (oscilaciones de Brown-Zak) en sistemas de muaré de grafeno, cuyo origen radica en la aparición repetitiva de minibandas extendidas/estados magnéticos de Bloch en fracciones racionales de flujo magnético por unidad de celda, dando lugar a un aumento de conductividad de la banda. En este trabajo, informamos sobre la observación experimental de oscilaciones de conductividad de banda en una superred de grafeno definida electrostáticamente y sintonizable por puerta, que se rigen tanto por la estructura interna de la mariposa de Hofstadter (oscilaciones de Brown-Zak) como por una relación de conmensurabilidad entre las Radio ciclotrón de electrones y período de superred (oscilaciones de Weiss). Obtenemos una descripción completa y unificada de las oscilaciones de conductividad de banda en superredes bidimensionales, lo que produce una coincidencia detallada entre la teoría y el experimento.

Los cristales artificiales, obtenidos mediante superredes de muaré en heteroestructuras de materiales 2D1,2,3 o imponiendo una superred con nanomodelos4,5,6 en un sistema de electrones 2D (2DES) como el grafeno, brindan la oportunidad de estudiar las características de transporte de los portadores de carga en un período periódico. potencial. Bajo la influencia de dicha superred, es posible modificar la estructura de bandas y, por tanto, las propiedades electrónicas de los materiales 2D, lo que lleva, por ejemplo, a la reciente observación de la superconductividad en el grafeno de ángulo mágico7. En campos magnéticos perpendiculares, los sistemas de superredes exhiben una estructura de banda magnética compleja dada por el espectro de energía fractal de la mariposa de Hofstadter8 que se estudió en 2DESs9 basados en GaAs y sistemas basados en grafeno a temperaturas criogénicas10,11,12. A temperaturas elevadas, al abandonar el régimen de cuantificación de Landau, la fina estructura del espectro energético de Hofstadter desaparece pero su estructura esquelética fundamental permanece. Se observaron oscilaciones de magnetoconductividad resistentes a la temperatura, que se denominaron oscilaciones de Brown-Zak (BZ) 13, 14 y aparecen periódicas en el flujo magnético inverso por unidad de celda de la red. Krishna Kumar y otros. identificaron esas oscilaciones como un efecto de conductividad de banda, pero las interpretaron principalmente en términos de cuasipartículas residentes en las minibandas de la estructura de bandas magnéticas introducida por Brown15 y Zak16, sin recurrir a los niveles de Landau. Si bien esta interpretación tiene sus méritos, como lo demuestra el transporte balístico de esas cuasipartículas17, una comprensión completa de las oscilaciones BZ sólo es posible si se tiene en cuenta la estructura de bandas de los niveles de Landau (LL) en un potencial periódico 2D. Con este fin, realizamos experimentos de magnetotransporte en superredes 2D creadas artificialmente6,18, en las que se puede controlar una modulación de potencial periódica por medios electrostáticos. Este enfoque ofrece más flexibilidad en términos de constante de red arbitraria, geometría y fuerza de modulación sintonizable en comparación con las superredes muaré. En particular, utilizando voltajes de puerta apropiados, ingresamos al régimen de potencial de modulación débil, donde la visibilidad de las oscilaciones BZ se rige por las oscilaciones de conmensurabilidad (Weiss). De este modo llegamos a una descripción unificada de las oscilaciones de conductividad de banda que combinan las oscilaciones de Brown-Zak y Weiss (WO). A continuación mostramos, tanto experimental como teóricamente, que las oscilaciones BZ y las WO reflejan la dispersión y la estructura interna de las bandas de Landau a temperaturas mucho mayores que la separación de las bandas de Landau.

El impacto de una modulación periódica 2D en campos magnéticos elevados se puede comprender en tres pasos. Primero consideramos el espectro de nivel de Landau de un 2DES no modulado, luego activamos el potencial de modulación en una sola dimensión, lo que lleva a las bandas de Landau, y finalmente activamos el potencial de modulación 2D, que divide aún más cada banda de Landau de acuerdo con el espectro de Hofstadter. A continuación, un potencial de superred 2D cuadrado \(V({{{{{{\bf{r}}}}}}})={V}_{0}(\cos (Kx)+\cos (Ky))\) con K = 2π/a, se considera la constante de red a y la amplitud de modulación V0. Se supone que el potencial de modulación es débil (V0 ≪ ℏvF/lB), de modo que la mezcla del nivel de Landau puede despreciarse (\({l}_{B}=\sqrt{\hslash /(eB)}\) es el potencial magnético longitud).

Un 2DES uniforme (no modulado), sujeto a un fuerte campo magnético perpendicular, desarrolla el espectro de nivel Landau, dando lugar al efecto Hall cuántico. Para el grafeno de una sola capa, debido a su dispersión lineal, el espectro depende de la raíz cuadrada de B19.

donde n es el índice de los niveles de Landau altamente degenerados y vF la velocidad de Fermi en el grafeno.

Cuando se incluye un potencial de modulación 1D (por ejemplo, solo el término \(\cos (Kx)\)), cada nivel de Landau se ampliará en bandas de Landau, cuyo ancho no solo depende de la intensidad del potencial de modulación, sino también de la período de modulación y el valor del campo magnético. El potencial periódico en la dirección x conduce a una dispersión de las bandas de Landau con respecto al vector de onda en la dirección y, ky, asociada con una velocidad de grupo vgr = (1/ћ)dEn/dky. El ancho de banda, y por lo tanto vgr, desaparecen completamente en la condición de banda plana, que, en el límite semiclásico (n grande)20, puede describirse mediante una relación de conmensurabilidad entre el radio del ciclotrón de los electrones \({R}_{ {{{{{{{\rm{c}}}}}}}}}=\hslash \sqrt{\pi {n}_{{{{{{{{\rm{S}}}}}} }}}}/(eB)\) y el período de superred a:21

Esta expresión contiene una dependencia de la densidad de portadores nS y describe los mínimos de los WO en la magnetorresistencia de un 2DES21,22,23,24 modulado. Para el grafeno de una sola capa, Matulis y Peeters25 calcularon la expresión mecánica cuántica completa para el ancho de banda de Landau ΔEn:

Aquí, \(u={K}^{2}{l}_{B}^{2}/2\), y Ln(u) es un polinomio de Laguerre.

Por último, consideramos la modulación 2D completa, para valores racionales de flujo magnético inverso por celda unitaria, ϕ0/ϕ = q/p, con q y p enteros coprimos. Ahora, cada banda de Landau, que, para una modulación 1D, depende de n y ky, se divide en p subbandas, según el espectro de Hofstadter en el límite de campo alto26. El espectro general de niveles de Landau modificado viene dado por:

Aquí Δϵα corresponde al espectro fractal de Hofstadter en el valor dado de α = ϕ0/ϕ = q/p (ver Fig. 1b). La situación completa se muestra en la Fig. 1, en la que el espectro de energía de los fermiones de Dirac en una red cuadrada 2D se muestra en los paneles (a) y (c). Debido a la dispersión lineal de Dirac, los niveles de Landau muestran una dependencia de raíz cuadrada del campo magnético. Cada nivel de Landau se amplía primero en bandas de energía, cuyo ancho tiene consecutivamente más nodos (bandas planas) con un índice de nivel de Landau creciente, y luego se divide en subbandas recursivas del espectro de Hofstadter. Las condiciones de banda plana están marcadas con círculos y muestran el ancho de la banda de fuga en cada banda de Landau.

un espectro de nivel Landau modificado en grafeno modulado 2D con a = 40 nm y V0 = 12 meV. Las bandas de Landau exhiben una estructura interna dada por el espectro de energía de la mariposa de Hofstadter. Aquí, sólo se muestran las bandas de Landau con n ≥ 0 hasta n = 11; Los niveles de Landau con n < 0 se pueden obtener mediante reflexión en E = 0. En fracciones unitarias del cuanto de flujo magnético ϕ0 por celda unitaria de superred, el espectro exhibe minibandas extendidas en todo el ancho de banda de Landau, lo que da lugar a una contribución mejorada de conductividad de banda análoga a el caso de una modulación 1D. Los círculos marcan las posiciones de las bandas planas en las que se restauran los niveles habituales de Landau. b Espectro de energía de Hofstadter en el límite de campo alto, donde el flujo inverso es la cantidad relevante. c Amplíe la región del cuadro azul de a, los círculos marcan las condiciones de la banda plana.

La estructura de la banda de Landau, como se muestra en la figura 1a, se puede probar en experimentos de transporte. Dichos experimentos, tanto en GaAs9 como en 2DES10,11,12 basados en grafeno, se realizaron a bajas temperaturas, donde la densidad de estados puede resolverse en magnetotransporte y el espectro de Hofstadter puede observarse directamente, debido a la contribución de la dispersión a la conductividad. Sin embargo, la velocidad del grupo vgr dentro de cada banda de Landau también conduce a una contribución de conductividad, la conductividad de la banda \({{\Delta }}{\sigma }_{{{{{{{{\rm{bc}}}}} }}}}\propto {v}_{{{{{{{\rm{gr}}}}}}}}^{2}\), que es más grande siempre que las bandas son anchas y desaparece en el condiciones de banda plana. En contraste con el efecto de densidad de estados, las oscilaciones de conductividad de banda sobreviven a temperaturas más altas y dan lugar a los conocidos y robustos WO, que se observaron tanto en 2DEG con una dispersión parabólica21 como en grafeno24,27 para un potencial de modulación 1D. En un 2DES basado en GaAs modulado en 2D, la amplitud de los WO se redujo, y esto se interpretó como una primera indicación del espectro de energía de Hofstadter con huecos28. Los espacios fractales dividen las bandas de Landau en subbandas, lo que reduce la dispersión de las bandas y, por tanto, también el vgr y, en última instancia, la conductividad de las bandas. Es importante destacar que la mancha térmica a una T más alta, mayor que la separación del nivel de Landau, no restaura la conductividad de la banda sin espacios28. Como mostraremos a continuación, las oscilaciones de conductividad de la banda debidas al espectro de Hofstadter (oscilaciones de Brown-Zak) solo se pueden observar fuera de la condición de banda plana.

El dispositivo de superred de grafeno investigado con simetría de red cuadrada y constante de red a = 39 nm se preparó siguiendo nuestros trabajos anteriores6,18,24 (ver "Métodos" para más detalles). Al combinar una puerta trasera global y una puerta inferior con patrón de grafeno (PBG) de pocas capas, se induce una modulación periódica de la densidad del portador de carga en grafeno monocapa encapsulado entre dos escamas de hBN y colocado encima de la estructura de doble puerta (ver Fig. 2b). La puerta trasera sintoniza principalmente la intensidad de modulación potencial y el PBG controla principalmente la densidad general del portador de carga en el sistema. No se encontraron características de muaré en esta muestra, lo que demuestra que no hubo una alineación involuntaria de grafeno y hBN. Los datos de un segundo dispositivo con una superred hexagonal y una red muaré coexistente se muestran en el Material complementario, Fig. S5. En esta muestra, se confirman las oscilaciones BZ en una superred definida por puerta y coexisten con las oscilaciones BZ debidas a la red muaré.

a Micrografía óptica de la muestra después del apilamiento y grabado en mesa de Van der Waals. b Vista esquemática del diseño de muestra que muestra la puerta inferior estampada debajo de la lámina de grafeno encapsulada con hBN. c Resistencia longitudinal Rxx en función de Vpbg en tres voltajes de puerta trasera diferentes Vbg en T = 1,5 K. Al aumentar la intensidad de la modulación (Vbg = ± 70 V), comienzan a aparecer picos de Dirac del satélite. El recuadro muestra el mapa general de puertas del sistema, Rxx, en función de Vpbg y Vbg. d Resistencia longitudinal Rxx en función de Vpbg a Vbg = 70 V para diferentes temperaturas que van desde T = 5 K a T = 110 K. Al aumentar la temperatura, los picos de Dirac satélite inducidos por superredes comienzan a desaparecer.

La realización de fenómenos de superred por medio de nuestra técnica de doble puerta se ilustra en la Fig. 2c, que muestra barridos de voltaje de PBG en tres voltajes de puerta trasera diferentes, Vbg = 70, 10 y −70 V. El recuadro de la Fig. 2c muestra el mapa de la puerta del dispositivo en el que se traza la resistencia longitudinal Rxx en función de la tensión de la puerta trasera Vbg y la tensión de PBG Vpbg a una temperatura de T = 1,5 K. La movilidad del efecto de campo, extraída a una tensión baja de la puerta trasera, es de aproximadamente 40.000 cm2 V− 1 s-1. Al aumentar la intensidad de la modulación, controlada principalmente por el voltaje de la puerta trasera Vbg, comienzan a producirse picos de Dirac adicionales debido a la modulación potencial periódica 2D inducida y las modificaciones posteriores de la estructura de banda. Además, en la ref. se informan datos detallados sobre el transporte a bajas temperaturas. 6 y las figuras relevantes se reproducen en el Material complementario, por conveniencia. En particular, en cada pico de Dirac del satélite, la resistencia transversal Rxy, medida en B = 200 mT, cambia de signo, lo que confirma el cambio de tipo de portadora, cuando el nivel de Fermi se mueve a través de las minibandas (consulte la figura complementaria S1e). Observamos de paso que la visibilidad de las características de Hofstadter en los datos de baja temperatura es mayor en las regiones donde las bandas de Landau son anchas (ver Material complementario, Fig. S6). Al aumentar la temperatura, los picos bien pronunciados de Dirac del satélite comienzan a desaparecer en las mediciones de transporte en un campo magnético cero, como se puede ver en la Fig. 2d. Por el contrario, en las mediciones de magnetotransporte (que se muestran en la Fig. 3), las características claras inducidas por la superred permanecen visibles incluso a altas temperaturas. Las siguientes mediciones de magnetotransporte se realizaron a una temperatura de T = 125 K. Debido a la constante de red de a = 39 nm, un cuanto de flujo magnético ϕ0 = h/e enhebra el área de la celda unitaria de la superred ya en un campo magnético de aproximadamente B = 2,7 T. Como consecuencia, en nuestro dispositivo también es posible estudiar el régimen de varios cuantos de flujo magnético en campos magnéticos moderados accesibles con imanes de laboratorio de criostato estándar, mientras que para superredes muaré serían necesarios campos magnéticos superiores a 50 T. Estos últimos están fuera del alcance de los campos estáticos, incluso en instalaciones dedicadas a campos elevados. La Figura 3a muestra la resistencia longitudinal medida Rxx en función del flujo magnético por área de celda unitaria de superred en unidades del cuanto de flujo magnético ϕ/ϕ0 para varios voltajes de PBG Vpbg a un voltaje de puerta trasera constante de Vbg = 80 V. En este régimen, la cuantificación de Landau no se resuelve debido al ensanchamiento térmico. Los picos de resistencia en fracciones racionales del cuanto de flujo magnético son visibles, más pronunciados en ϕ/ϕ0 = 1. Las posiciones de los máximos de resistencia son independientes del voltaje de PBG aplicado Vpbg, es decir, independientes de la densidad del portador de carga, que es una característica de Oscilaciones BZ, ya que reflejan únicamente la periodicidad de la superred. Además, también se puede observar una característica distintiva en dos cuantos de flujo magnético que se extienden sobre un rango de voltaje PBG limitado, pero no se encuentra ninguna característica para tres o cuatro cuantos de flujo, lo que brinda más información sobre la estructura de la banda magnética. La Figura 3b muestra la correspondiente resistencia transversal Rxy. De manera similar a los datos de Rxx, la resistencia transversal también muestra desviaciones del comportamiento en línea recta en ciertas relaciones de flujo.

Resistencia longitudinal Rxx (a) y resistencia transversal Rxy (b) como función del flujo magnético por área de celda unitaria de superred ϕ/ϕ0 para diferentes voltajes de puerta inferior con patrones Vpbg = − 0,5 V … − 1,5 V a un voltaje de puerta trasera de Vbg = 80 V. En fracciones racionales del cuanto de flujo magnético, se ven claros picos de resistencia en Rxx acompañados de caídas en la resistencia transversal con la característica más pronunciada en ϕ/ϕ0 = 1.

Para estudiar las características observadas con más detalle, siguiendo a Krishna Kumar et al.13, tomamos la segunda derivada de la conductancia que elimina efectivamente el fondo y resalta los extremos. La conductancia G ≡ Gxx se calcula a partir de Rxx y Rxy usando \({G}_{xx}=\frac{{R}_{xx}}{{R}_{xx}^{2}+{R}_ {xy}^{2}}\) y es igual a la conductividad longitudinal σxx hasta un factor geométrico cercano a uno. En la Fig. 4a, la segunda derivada de la conductancia d2G/dB2 se representa en función del voltaje de PBG Vpbg y el flujo magnético ϕ/ϕ0 medido a un voltaje de puerta trasera constante de Vbg = 80 V. Este voltaje de puerta crea un fuerte potencial de modulación ( ver figura 2). En fracciones racionales del cuanto de flujo magnético (resaltado en la Fig. 4a), se ven firmas claras de oscilaciones BZ que son más pronunciadas en el régimen bipolar (aproximadamente, donde Vbg y Vpbg tienen polaridad opuesta). Además, la característica en dos cuantos de flujo magnético se puede observar en un rango limitado de Vpbg. A mayor densidad de portadores de carga, también estados de orden superior14 en \(\phi /{\phi }_{0}=\frac{2}{3},\frac{3}{4}\) y firmas débiles en \ (\phi /{\phi }_{0}=\frac{5}{4},\frac{3}{2}\) aparecen. Al invertir el signo del voltaje de la puerta trasera aplicado, las características visibles se reflejan en el punto de neutralidad de carga (consulte la Fig. 4b para Vbg = − 80 V). Al disminuir la intensidad de la modulación, es decir, al disminuir el voltaje de la puerta trasera Vbg, las oscilaciones de conductividad de la banda observadas revelan su estructura interna. La Figura 4c muestra datos con un voltaje de puerta trasera de Vbg = 10 V. Las líneas rojas muestran la condición de banda plana para λ = 1, 2,…, 6. En general, una intensidad de modulación menor provoca una disminución en el ancho de banda de Landau y, por lo tanto, el efecto de las minibandas extendidas y la contribución de la conductividad de la banda a la conductividad general se reduce y sólo sobreviven las características más desarrolladas, por ejemplo, en ϕ/ϕ0 = 1. Además, en comparación con una modulación potencial más fuerte, se reduce la superposición de bandas de Landau adyacentes. y se puede esperar una dependencia más sensible de la conductividad del comportamiento oscilatorio del ancho de banda de bandas individuales de Landau en función del campo magnético. Este efecto es más pronunciado cuando se cumple la condición de banda plana y el ancho de la banda se acerca a su mínimo. En el experimento, esto se manifiesta como conductividad de banda suprimida y se puede observar en los datos de la Fig. 4c en ϕ/ϕ0 = 1. Esto también se hace evidente en los cortes de línea de los datos sin procesar de Rxx (ver Fig. 4d). Alrededor de ϕ/ϕ0 = 1, se ve un pico BZ, pero sólo entre condiciones de banda plana, que están marcadas con líneas rojas. Por el contrario, los WO son visibles en cada traza, con sus mínimos en las posiciones de la banda plana, pero solo aparecen claramente en las posiciones donde las oscilaciones BZ muestran un máximo, modulando así la característica BZ en ϕ/ϕ0 = 1. Siguiendo esto también la característica en ϕ/ϕ0 = 2 con un alto voltaje de puerta trasera (ver, por ejemplo, Fig. 4b) que está localizada en un cierto rango de voltaje de PBG se puede explicar ya que aparece exactamente entre dos posiciones de banda plana con λ = 1 y λ = 2 (ver también la figura complementaria S4b). Esto resalta la importancia tanto del ancho de oscilación de las bandas de Landau como de su estructura interna debido al espectro de Hofstadter en la interpretación de la física subyacente. Observamos que los WO generalmente se describen en el régimen de modulación débil, pero aún permanecen visibles con un potencial de modulación más fuerte; consulte, por ejemplo, las crestas no verticales en la Fig. 4b que corren paralelas a las condiciones de banda plana. En esta fuerte modulación, las bandas de Landau se superponen y la visibilidad de las oscilaciones BZ sólo se ve débilmente afectada por la condición de banda plana. Tenga en cuenta que una fuerte modulación está presente en particular en la región bipolar. En la región unipolar también podemos encontrar el régimen de modulación débil para Vbg = ± 80 V y un rango de Vpbg. Esto se ve más claramente en una escala de grises adaptada (consulte la figura complementaria S4). Una fuerte modulación también está presente en las superredes muaré, donde el potencial no se puede sintonizar con el régimen débil y, por lo tanto, las oscilaciones BZ no muestran signos de WO. La visibilidad de las oscilaciones BZ no se ve afectada por la superposición de las bandas de Landau, ya que las bandas y los espacios en el espectro de Hofstadter dependen del flujo por unidad de celda, pero no del índice de nivel de Landau.

Las observaciones experimentales se pueden modelar y reproducir con precisión considerando las correcciones de conductividad de la banda debido al potencial periódico, lo que lleva a oscilaciones causadas tanto por la conmensurabilidad entre el diámetro del ciclotrón como por el período de la red (oscilaciones de Weiss, siguiendo la ecuación (2), ver Fig. 5a). y por el número y ancho variables de subbandas dentro del espectro de Hofstadter (ver Fig. 5b). La corrección de la conductividad de la banda debido a un potencial de superred se calcula a partir de la fórmula de Kubo y, por lo tanto, es proporcional al cuadrado de la velocidad de la banda, que a su vez es proporcional al ancho de la banda.

Una vez que el ensanchamiento del nivel por dispersión de impurezas es lo suficientemente pequeño como para permitir resolver (parcialmente) el espectro de Hofstadter, los espacios en el espectro de Hofstadter reducen el ancho de banda de Landau por debajo de su valor obtenido de una modulación 1D (Ec. 3). Esto también reduce la velocidad de la banda y, como la conductividad es proporcional a la velocidad al cuadrado, aún se reduce incluso después de la suma de las p subbandas de Hofstadter. Cualitativamente, esto suprime las fuertes oscilaciones de conductividad de la banda cuando se pasa de una modulación 1D a una modulación 2D28,29 (ver Fig. 5a, b). Por otro lado, para un ensanchamiento de colisión más fuerte, la división de subbandas no conduce a una reducción de las oscilaciones de conductividad de la banda (excepto para el camino libre medio de electrones más corto).

Las observaciones experimentales en nuestros dispositivos ahora pueden entenderse considerando la Fig. 1 una vez más. Para valores enteros de flujo inverso, ϕ0/ϕ, en otras palabras, fracciones unitarias del flujo ϕ/ϕ0, el espectro de Hofstadter tiene el ancho completo de las bandas de Landau subyacentes8,26 (consulte la Fig. 1b en ϕ0/ϕ = 0 o 1 ). Por lo tanto, la conductividad de la banda es tan grande como lo permiten las bandas de Landau ampliadas por la modulación. Para otros valores de flujo inverso ϕ0/ϕ = q/p con p pequeño, por ejemplo 1/3 o 2/3, todavía hay subbandas considerables en las bandas de Landau divididas por Hofstadter, que también se reflejan como contribuciones de conductividad visibles. Fuera de estas regiones, el espectro de Hofstadter está tan fuertemente dividido que la conductividad de la banda queda completamente suprimida. Como el espectro de Hofstadter sólo depende de la relación de flujo, no de la densidad, todas las líneas oscuras verticales en la Fig. 4 se pueden atribuir a este efecto. Para comprender la modulación dependiente de la densidad en las líneas verticales (en particular, la línea ϕ/ϕ0 = 1 en la Fig. 4c), debemos considerar la condición de banda plana. Dependiendo de la condición de la banda plana, el ancho de cada banda de Landau oscila con el campo magnético, lo que lleva a una corrección de la conductividad de la banda oscilante23. Por ejemplo, en la Fig. 1a, encontramos dos bandas de Landau (n = 6, 11), donde la condición de banda plana ocurre muy cerca de ϕ/ϕ0 = 1, lo que reduce la visibilidad del pico de conductividad correspondiente, mientras que otras bandas de Landau se extienden al ancho máximo. Observamos que la fórmula semiclásica para la condición de banda plana (Ec. 2) es suficiente para describir los datos de la Fig. 4. Claramente, la visibilidad de las oscilaciones BZ se suprime siempre que se cumple la condición de banda plana.

a Gráfico en escala de grises de la segunda derivada de la conductancia d2G/dB2 en función del flujo magnético ϕ/ϕ0 y el voltaje de la puerta inferior modelado Vpbg en un voltaje de la puerta trasera Vbg = 80 V. Las oscilaciones de conductividad de banda/Brown-Zak son principalmente visibles en El régimen bipolar. Las características observadas en fracciones racionales del cuanto de flujo magnético se resaltan con líneas discontinuas rojas y se etiquetan con el valor correspondiente de ϕ/ϕ0. Además, se pueden observar características débiles en ϕ/ϕ0 > 1. b Gráfico en escala de grises de d2G/dB2 en función de ϕ/ϕ0 y Vpbg en Vbg = − 80 V. Al invertir la polaridad del voltaje de la puerta trasera, las características se reflejan con respecto al punto de neutralidad de carga. La característica localizada en ϕ/ϕ0 = 2 se encuentra entre posiciones de bandas planas con λ = 1 y λ = 2. c Gráfico en escala de grises de d2G/dB2 en función de ϕ/ϕ0 y Vpbg en Vbg = 10 V. Reducción de la conductividad de la banda oscilaciones con un voltaje de puerta trasera más pequeño, es decir, una modulación de potencial más débil. Se puede observar una supresión de la característica más pronunciada en ϕ/ϕ0 = 1 siempre que se cumpla la condición de banda plana para λ = 1, 2,…, 6. d Resistencia longitudinal Rxx a Vbg = 10 V y Vpbg = 0,6 V…1,4 V en pasos de 0,05 V. En contraste con la Fig. 3 (a), las características BZ son mucho más débiles. En cambio, los WO son visibles, gobernados por las condiciones de la banda plana (dadas por puntos rojos; las líneas rojas son guías para el ojo), pero solo aparecen claramente en las posiciones máximas de BZ, modulando la característica BZ en ϕ/ϕ0 = 1.

a Para una superred 1D, aparecen oscilaciones de conductividad de banda, que dependen tanto de la densidad del portador nS como de los cuantos de flujo por celda unitaria ϕ/ϕ0. b En el caso de una superred 2D, las oscilaciones de conductividad de banda del caso 1D se suprimen en su mayoría (regiones claras), excepto cuando la mariposa Hofstadter tiene regiones extendidas (bandas oscuras), en fracciones racionales de ϕ/ϕ0. Se reproducen las características de los datos experimentales, incluida la aparición de máximos de conductividad de banda en fracciones racionales de ϕ/ϕ0 y la modulación de las oscilaciones de Brown-Zak observadas mediante oscilaciones de Weiss (parte inferior: contraste mejorado). Las líneas rojas continuas en ambas figuras muestran la condición de banda plana semiclásica (ver Ec. 2). Las líneas discontinuas marcan el racional ϕ/ϕ0 < 1, el rojo para las fracciones unitarias y el azul para el resto. Tenga en cuenta que las dos regiones triangulares en ϕ/ϕ0 bajo y ∣nS∣ alto no contienen datos significativos debido a un número limitado de niveles de Landau en el cálculo.

Utilizando el enfoque descrito anteriormente, con más detalles de cálculo en la sección "Métodos", obtenemos una estimación semicuantitativa de la conductividad de la banda. El resultado se representa en la Fig. 5b, que reproduce las principales características experimentales. Lo más importante es que la imagen de conductividad de la banda reproduce las oscilaciones de Brown-Zak, que aparecen como líneas verticales oscuras en flujos racionales. Claramente, al considerar la estructura de subbandas de la mariposa Hofstadter, las oscilaciones BZ están bien descritas. También confirmamos que las fracciones unitarias del flujo por celda unitaria (ϕ/ϕ0 = 1/q) conducen a las características más fuertes y aparecen líneas verticales más débiles para otras fracciones, como se explicó anteriormente. En particular, como en el experimento, la característica en ϕ/ϕ0 = 2 es mucho más débil y no se encuentra ninguna característica para ϕ/ϕ0 = 3. Debido a las oscilaciones de conmensurabilidad, las líneas verticales en ϕ/ϕ0 = 1 y ϕ/ϕ0 = 2 están visiblemente modulados, siguiendo la ecuación. (2), pero esta modulación está ausente para ϕ/ϕ0 ≪ 1 debido al ensanchamiento térmico. Este último hecho es más claramente visible en un gráfico 3D de los mismos datos, que mostramos en la Información complementaria, Fig. S7.

En conclusión, presentamos oscilaciones de conductividad de banda en una superred de grafeno 2D artificial, definida electrostáticamente y sintonizable por puerta. Las oscilaciones de conductividad de banda del tipo Brown-Zak son claramente visibles para uno y dos cuantos de flujo por celda unitaria y varios órdenes de fracciones de cuantos de flujo. Además, a un potencial de superred suficientemente débil, esas oscilaciones revelan su estructura interna determinada por las oscilaciones de Weiss y desaparecen parcialmente cuando se cumple una condición de conmensurabilidad entre el radio del ciclotrón de los electrones y el período de la superred. Nuestras mediciones de transporte y descripción teórica brindan nuevos conocimientos sobre la estructura de la banda magnética de las superredes de grafeno y mostramos que la manifestación y la visibilidad experimental de las características inducidas por la superred y las oscilaciones de conductividad de la banda dependen crucialmente de la aparición y el ancho de las bandas de energía en la estructura de la banda magnética.

El grafeno de pocas capas se exfolió a partir de grafito natural sobre obleas de silicio oxidadas y se modeló mediante litografía por haz de electrones estándar (EBL) y grabado con iones reactivos (RIE) con plasma de O2 para formar la puerta inferior estampada (PBG). Después del grabado, el PBG se limpió en Remover PG (Microchem) a 60 ∘C y se recoció al vacío a 400 °C para eliminar los residuos de resistencia. Se utilizó una técnica de recogida estándar de van der Waals30 para encapsular grafeno monocapa entre dos escamas de hBN y transferir la pila de hBN/grafeno/hBN al PBG. El hBN se exfolió a partir de cristales de hBN a granel de alta calidad31 y el grafeno de una sola capa a partir de grafito natural. Las escamas se recogieron y ensamblaron utilizando una pila de polidimetilsiloxano/policarbonato sobre un portaobjetos de vidrio para microscopio, en un soporte hecho a medida en un microscopio óptico, cuya etapa xy sirvió para colocar las escamas con una precisión de aproximadamente 1 μm. La muestra descrita en el texto principal no muestra signos de un patrón muaré, mientras que en una segunda muestra, los ejes cristalinos de grafeno y un cristal de hBN se alinearon involuntariamente, lo que llevó a características de superred muaré bien definidas. La capa inferior de hBN tenía un espesor de solo ~ 5 nm para obtener una modulación potencial bien definida. La pila final se grabó en la geometría de la barra Hall mediante EBL y RIE con SF632 y O2, y los contactos de borde se fabricaron mediante EBL y evaporación de Cr (5 nm)/Au (80 nm). Todas las mediciones de transporte se realizaron en un criostato de 4He con técnicas de bloqueo estándar en una fuente de corriente de 10 nA. La adquisición de datos se realizó a través del laboratorio::entorno de medición33.

Para el grafeno con una modulación de superred unidimensional, se obtiene la siguiente corrección de conductividad de banda25:

con \(g(E)=\exp ((E-{E}_{{{{{{{\rm{F}}}}}}}}})/({k}_{{{{ {{{{\rm{B}}}}}}}}}T))\), y E0,n la energía del nivel Landau imperturbado. Esto da lugar a las oscilaciones de Weiss en una superred 1D y también modula la visibilidad de las oscilaciones BZ en la superred 2D.

Para obtener una estimación semicuantitativa de la conductividad de la banda en una superred 2D28,29, primero calculamos la corrección debida a un potencial 1D, siguiendo la ecuación. (5), donde incluimos todos los niveles de Landau dentro de ± 10 kBT del nivel de Fermi. Para la estabilidad numérica, restringimos el número máximo de niveles de Landau a 30, lo que afecta a las regiones con ϕ/ϕ0 <0,5 y alta densidad de portadores. Para cada campo magnético, luego obtenemos el espectro de Hofstadter y lo ampliamos para retener solo espacios que exceden un tamaño mínimo, imitando así el ensanchamiento por colisión. El ancho de banda reducido debido a la división de Hofstadter se tiene en cuenta para reducir la conductividad general. Como la velocidad del grupo en cada minibanda depende de su ancho, y la conductividad de la banda es proporcional al cuadrado de la velocidad del grupo, sumamos el cuadrado del ancho de todas las subbandas de Hofstadter dentro de cada banda de Landau para reducir el valor de conductividad obtenido de Ec. (5).

Los datos experimentales utilizados en este estudio están disponibles previa solicitud en la base de datos de publicaciones electrónicas de la Universidad de Regensburg en https://doi.org/10.5283/epub.51676.

El Código Matlab utilizado en este estudio está disponible previa solicitud en la base de datos de publicaciones electrónicas de la Universidad de Regensburg en https://doi.org/10.5283/epub.51676.

Dean, CR y cols. Sustratos de nitruro de boro para electrónica de grafeno de alta calidad. Nat. Nanotecnología. 5, 722–726 (2010).